Nous l'avons vu précédemment, l'équation de base des "lois de la pensée" est : x²=x

Or, du point de vue des propositions, x³=x ou plus généralement xⁿ=x est également vraie.
Le problème que soulève Boole dans une petite note à la fin du chapitre 3, c'est que l'aller-retour entre nombres et propositions ne peut plus se faire à partir de n=3.
En effet, cela suppose que l'on puisse par exemple trouver une interprétation à -1, qui malheureusement ne satisfait pas à x²=x.

Boole laisse cependant une porte ouverte, que nous avons soulignée en rouge dans la reproduction de la note :

Autrement dit, il suffit de trouver une phrase telle que la troisième évaluation donne la même chose que la première mais pas la deuxième pour envisager un calcul de proposition d'ordre supérieur à 2.

Il nous semble que le paradoxe "du menteur" possède cette caractéristique.
cf. la partie "la ritournelle des menteurs"

Dans l'abondante littérature qui existe sur les paradoxes, l'attitude consiste en général à expliquer le mécanisme aboutissant à l'énoncé d'un paradoxe afin d'éviter d'en produire ou afin de l'éliminer du discours.

Notre posture consiste plutôt à essayer d'exploiter cette propriété cyclique des paradoxes, dans un premier temps de manière ludique, puis dans une perspective plus utilitaire (registres à décalage, cryptographie, etc.)